Ley de Benford

La Ley de Benford, también conocida como la Ley del Primer Dígito, es una fascinante regla estadística que ha demostrado su eficacia en diversos campos, desde la auditoría financiera hasta el análisis de datos científicos.

Este principio, aparentemente simple pero poderoso, establece que, en muchos conjuntos de datos del mundo real, el primer dígito significativo de los números no se distribuye de manera uniforme, sino que sigue un patrón específico.

Historia y orígenes de la Ley de Benford

En 1881, el astrónomo y matemático Simon Newcomb fue quien por primera vez observó que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban notablemente más desgastadas, sugiriendo un uso más frecuente.

A partir de este fenómeno, dedujo que los dígitos iniciales de los números (especialmente aquellos utilizados por quienes consultaron las tablas) no seguían una distribución equiprobable.

Más bien, notó que el dígito «1» era el más frecuente como primer dígito, seguido por el «2», y así sucesivamente hasta llegar al «9», que era el menos común.

Aunque Simon Newcomb verbalizó esta relación logarítmica sin proporcionar una argumentación formal ni una fórmula matemática, sentó las bases de lo que más tarde se conocería como la «ley de probabilidad de la ocurrencia de números», específicamente relacionada con la equiprobabilidad de las mantisas de los logaritmos.

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No fue hasta 1938 y de manera independiente, el físico Frank Benford corroboró este fenómeno al observar la distribución de los primeros dígitos en las tablas de logaritmos.

Realizó una extensa comprobación empírica, examinando 20.229 números en 20 muestras diversas, que incluían áreas fluviales, constantes físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números de direcciones personales y portadas de revistas.

A partir de sus resultados, Benford formuló lo que denominó la «ley de los números anómalos».

Esta ley logarítmica, conocida como la «ley de Benford», describe la probabilidad de que el primer dígito de un número sea «n» y ha demostrado ser aplicable en una variedad de conjuntos de datos del mundo real.

Argumentos de la Ley de Benford

La Ley de Benford se basa en la idea de que en muchos fenómenos naturales y procesos humanos, los números que representan cantidades de magnitud significativa seguirán ciertos patrones.

Cuando se examina un conjunto de datos extenso y variado, la probabilidad de que el primer dígito de un número sea un «1» es mayor que la probabilidad de que sea un «9». Esta distribución no uniforme se expresa con la siguiente fórmula matemática:

Ley de benford Formula

Donde es la probabilidad de que el primer dígito sea n.

Aplicaciones de la Ley de Benford

La Ley de Benford se ha convertido en una herramienta valiosa en diversas áreas:

1. Auditoría financiera

Los fraudes financieros a menudo alteran los datos para que se ajusten a patrones más uniformes. La Ley de Benford puede revelar anomalías sugestivas de manipulación.

2. Contabilidad

En conjuntos de datos financieros, como facturas y registros contables, la ley puede destacar discrepancias y errores.

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3. Ciencia de datos

Se aplica para verificar la autenticidad de conjuntos de datos y detectar posibles irregularidades en investigaciones científicas.

4. Controles de calidad

En la producción y medición, ayuda a identificar datos incorrectos o fuera de norma.

Ejemplos de la Ley de Benford

La Ley de Benford, apoyada por sólidos fundamentos matemáticos, demuestra que la distribución no uniforme de los primeros dígitos es una característica intrínseca y predecible en muchos conjuntos de datos.

1. Poblaciones de ciudades

Cuando se analizan las poblaciones de ciudades en un país, la ley sugiere que es más probable encontrar ciudades con poblaciones de un solo dígito (por ejemplo, 1 millón) que ciudades con poblaciones de dos dígitos (por ejemplo, 10 millones).

2. Datos financieros

Si se examina una lista de ingresos en una empresa, la ley predice que es más probable encontrar ingresos de magnitudes más pequeñas que de magnitudes mayores.

3. Longitudes de ríos

En el estudio de las longitudes de ríos en una región, la ley señala que es más probable que se encuentren ríos con longitudes de un solo dígito de manera predominante.

Su aplicación práctica no solo ha revolucionado la detección de fraudes, sino que también ha mejorado la calidad y la confiabilidad de la información en diversas disciplinas, subrayando la asombrosa conexión entre las matemáticas y el mundo que nos rodea.

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